એક ટેસ્ટ પાર્ટીકલ $\rho(r) = \frac{K}{r^2}$ ઘનતા ધરાવતા ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરે છે. કણની કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ અને તેના આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સાચો સંબંધ ઓળખો.

ભૂસ્થિર ઉપગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા કેટલી છે? (પૃથ્વીની સરેરાશ ત્રિજ્યા $R$ છે,પોતાની ધરી પર કોણીય વેગ $\omega$ છે અને પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ છે.)

એક કણ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં કેન્દ્રીય આકર્ષી બળ $F = -\frac{k}{r}$ હેઠળ ગતિ કરે છે,જ્યાં $k$ અચળાંક છે. આ ગતિનો આવર્તકાળ કોના સમપ્રમાણમાં છે?

એક સ્પેસશિપ ગ્રહની સપાટીથી $20 \, km$ ની ઊંચાઈએ તેની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે. ધારો કે સ્પેસશિપ પર માત્ર ગ્રહનું ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્ર કાર્ય કરે છે. તો $24 \, \text{કલાક}$ માં સ્પેસશિપ દ્વારા ગ્રહની આસપાસ પૂર્ણ કરેલા પરિભ્રમણોની સંખ્યા કેટલી હશે? [આપેલ છે: ગ્રહનું દળ $= 8 \times 10^{22} \, kg$, ગ્રહની ત્રિજ્યા $= 2 \times 10^6 \, m$, ગુરુત્વાકર્ષણ અચળાંક $G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$]

$3: 1$ દળનો ગુણોત્તર ધરાવતા બે ઉપગ્રહો $A$ અને $B$ અનુક્રમે $r$ અને $4r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષાઓમાં ભ્રમણ કરે છે. ઉપગ્રહ $A$ અને $B$ ની કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?

બે ઉપગ્રહો $A$ અને $B$ એક ગ્રહની આસપાસ અનુક્રમે $4R$ અને $R$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ફરે છે. જો ઉપગ્રહ $A$ ની ઝડપ $3V$ હોય,તો ઉપગ્રહ $B$ ની ઝડપ કેટલી હશે ($V$ માં)?